Posts

Inequality 7

Image
Let $a,b,c > 0$. Prove:
$$\left( a+b+c \right)  \left( {a}^{-1}+{b}^{-1}+{c}^{-1} \right) +1/27
\,{\frac { \left( a+b+c \right) ^{3}}{abc}}-10 \geqq 0$$
Xét hiệu $2$ vế, khử mẫu đi, bằng Maple, chúng ta có phân tích: $\geqq 0$ P/s: Xin lỗi các bạn, Latex của blog hay bị lỗi nên mình phải chèn ảnh vào nên không đẹp lắm!

Inequality 6

For $a,b,c>0$ such as $a+b+c=6$. Prove that:
$$3(a^2+b^2+c^2) +2abc \geqq 52$$
Proof:
$$\text{LHS-RHS} =2/9\, \left( a-b \right) ^{2} \left( a+b-c+1 \right) +2/9\, \left( a-c
 \right)  \left( b-c \right)  \left( 1+c \right) \geqq 0$$
Which is obvious $\because c \equiv \text{min}\{a,b,c\}$ $\text{(assume)}$

Simple inequality

For $a,b,c >0$ such as $a+b+c=2018$. Prove that:$\sum \frac{a^3}{(b+c)^2} \geqq \frac{1009}{2}$
Proof:
$$\text{LHS-RHS}=\sum {\frac {1009\, \left( 2\,a-b-c \right) ^{2}}{2\, \left( b+c \right) ^{
2}}} \geqq 0$$
Done!

Phân tích bán SOS

Image
Có một số bạn nhắn tin hỏi mình về cách phân tích một bất đẳng thức nào đó về bán SOS, bán bình phương (một số trường hợp còn là S-S). Hôm nay mình viết một bài nhỏ chia sẻ cách làm của mình. Bài viết này mình hướng dẫn cách làm đối với bất đẳng thức bậc ba các bậc khác thực hiện tương tự.

Trong bài viết này, ta thường giả sử $c=\text{min} \{a,b,c\}$. Xét ví dụ đơn giản nhất

Ví dụ 1: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
$$f_1 =a^3+b^3+c^3 -3abc \geqq 0$$
Một cách đơn giản là sử dụng phân tích:



Maple cho ta phân tích này trong 0.328s. Ví dụ 2:Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh:
$$f_2 =\sum a^3 +3abc -\sum ab(a+b) \geqq 0$$


Maple cho ta phân tích này trong 0.391s
Ví dụ 3:
Xét dạng tổng quát của đa thức hoán vị bậc $3$:
$$f_3=A(a^3+b^3+c^3) +B(a^2  b+b^2 c+c^2 a) +C(ab^2+bc^2 +ca^2) -3(A+B+C)abc$$

Ta thường phân tích nó về $$F_3 = (m_1 a +m_2 b+m_3 c)(a-b)^2 +(m_4 a+m_5 b+m_6 c)(a-c)(b-c)$$

Với $a,b,c$ là biến, $m_1,m_2,m_3,m_4,m_5,m_6$ là hằng số.

Việc đồng nhất hệ …

Chương trình đổi biến

Image
Một số chương trình trợ giúp việc đổi biến được viết trên nền ngôn ngữ lập trình Maple.
viete( ): f(a,b) -> f(S,P)
Ví dụ:
pqr( ): f(a,b,c) -> f(p,q,r)
Ví dụ:

Với các đa thức hoán vị:


Một số phép đổi biến thường dùng

Image
1) Phép thế Viete
2) Phép thế pqr và uvw     và    Với phép đặt này ta có và 3) Nếu là độ dài ba cạnh của tam giác
Phép thế Ravi      và    với là nửa chu vi, là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác.
4) Một số đẳng thức
Nếu với tam giác

Nice inequality and non symmetric

For $a,b,c > 0$ such as $a+b+c=3$. Prove that: $\sum \sqrt{3a+\frac{1}{b}} \geq 6$

Inequality 4

Let $a,b,c \in R$ such as $a+b+c=0$. Prove that:
$$(2a^2+bc)(2b^2+ca)(2c^2+ab) \leqq 0$$
Proof:
$$\text{RHS-LHS} =  (a-b)^2 (b-c)^2 (c-a)^2 \geqq 0$$

Inequality 3

For $a,b,c > 0$, prove: $\sum \frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2} \leqq 8$
$\text{RHS-LHS} = \frac{1}{3(a+b+c)} \sum \frac{(b+c-2a)^2(5a+b+c)}{2a^2+(b+c)^2} \geqq 0$

Some nice inequalities

Image
$\text{1.}$ For $a,b,c >0$. Prove that:
$$\frac{(a^3+b^3+c^3)}{2abc}+\sum \frac{(a^2+b^2)}{ab+c^2} \geqq \frac{9}{2}$$
Proof:
$$\text{LHS} \geqq \frac{27(a^3+b^3+c^3)}{2(a+b+c)^3}+\frac{2(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}$$
Then it's easy to see that it's enough to prove:
$2\, \left( 11\,{a}^{3}+7\,{a}^{2}b+26\,{a}^{2}c+7\,a{b}^{2}+47\,abc+11
\,{b}^{3}+26\,{b}^{2}c \right)  \left( a-b \right) ^{2}+N \left( a-c
 \right)  \left( b-c \right) \geqq 0$
Where:

Which is obvious $\because c = \min\{a,b,c\}$ $\text{(assume)}$
$\text{2.}$ (Nguyễn Văn Huyện):


$\text{3.Korean MO Final, 2016}$:
For $x,y,z \in R$. Prove that: $(x^2-yz)(y^2-zx)(z^2-xy) \leq 8(x^2+y^2+z^2)^3$
See also here
$\text{4.}$ For $a,b,c \geqq 0$. Prove:
$(a+b)(b+c)(a+c)(a+b+c)^2\geq 24abc(a^2+b^2+c^2)$
$\text{5.}$. For $a,b,c \geqq 0$:
$$\frac{1}{16} \, \left( a+b+c \right) ^{4}-{a}^{2}{b}^{2}-{c}^{2}{a}^{2}-{b}^{2}
{c}^{2}-{\frac { \left( 11\,a+11\,b+11\,c \right) abc}{16}} \geq 0$$
Proof:

Which is obvious $\because …

Proving inequalities by SOS

$\text{1}$. Prove: \[a^2 \geqslant \frac{(ab+bc+ca)(5a-b-c)}{3(a+b+c)}, \quad a > 0 , \; b > 0, \; c > 0.\]
Solution:
$\text{LHS-RHS} ={\frac { \left( ab+ca+bc \right) \left( 3\,a+b+c \right)
\left( 2\,a-b-c \right) ^{2}+3\, \left( a+b+c \right) {a}^{2} \left(
b-c \right) ^{2}}{3 \left( b+c \right) \left( 4\,a+b+c \right)
\left( a+b+c \right) }}$
See also here
$\text{2}$. With $a,b,c \in R$. Prove: $$(a^2+b^2+c^2)^3 \geqq 2(a-b)^2 (b-c)^2(c-a)^2$$
$$\text{LHS -RHS} ={\frac {2\, \Pi \left( a+b-2\,c \right) ^{2}}{27}}+3\, \left( \sum a \right) ^{2}
\left( {\frac { (19 \sum a^2 -7 \sum ab)^2}{1539}}+{\frac { \left(\sum ab \right) ^{2}}{57
}} \right) \geqq 0$$
See also here